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D.1 Konzepte zur Beurteilung von Erwartungswerten anhand von Stichproben

Eine normalverteilte Zufallsgröße X ~ N(μ ;σ ) hat die Verteilungsfunktion

(D1)

und den Erwartungswert

Eine lognormal verteilte Zufallsgröße Y ~ Ln(μ ;σ ) hat die Verteilungsfunktion

(D3)

und den Erwartungswert

In der Praxis können für die Erwartungswerte (D2) bzw. (D4) jedoch nur Schätzungen auf der Basis von Stichproben (Messwerten) vorgenommen werden. Die in Anhang C erläuterten Methoden zur Schätzung der Verteilungsparameter μ und σ sind dafür eine wesentliche Basis.

Nachfolgend wird angenommen, dass mögliche Störungen der Normal- bzw. Lognormalverteilung durch Ausreißer (oder Störungen der Lognormalverteilung durch einen konstanten Untergrund c) bereits separiert wurden. Hier werden deshalb nur Schätzungen zum Erwartungswert für "reine" normal bzw. lognormal verteilte Zufallsgrößen betrachtet.

Zur Beurteilung des Erwartungswertes einer Zufallsgröße anhand von Stichproben können im Prinzip zwei unterschiedliche Konzepte und entsprechende Kenngrößen genutzt werden. Sehr oft wird der Erwartungswert nur auf der Basis so genannter Punktschätzer E_n beurteilt. Der bekannteste Punktschätzer ist der arithmetische Mittelwert E_n^(AM) der n Stichprobenwerte. Er hängt nicht von der Art der statistischen Verteilung ab. Für normal verteilte Zufallsgrößen stimmt er mit dem so genannten Maximum-Likelihood-Schätzer E_n^(ML) überein, der sich für beide Verteilungsarten durch Einsetzen der Schätzwerte μ_n und σ_n der Verteilungsparameter in die Formeln (D2) bzw. (D4) ergibt (siehe [D1]):

Die Schätzwerte (D5) und (D6) sind ebenfalls Zufallsgrößen, da sie aus zufällig gewonnenen Stichprobenwerten resultieren. Sie liegen umso wahrscheinlicher in der Nähe des (wahren, aber immer unbekannten) Erwartungswertes E, je größer der Stichprobenumfang n ist. Die zufälligen Abweichungen der Schätzwerte E_n vom wahren Erwartungswert E können besonders im Fall der Lognormalverteilung (D3) bei größeren Werten von σ so groß sein, dass die auf der Grundlage von Punktschätzern getroffenen Aussagen den realen Gegebenheiten nicht mehr gerecht werden [D2].

Will man anhand von Stichproben mit einer bestimmten Sicherheit beurteilen, wie groß der wahre Wert von E sein könnte, so ist das Konzept der Konfidenzgrenzen zu verwenden, mit dem für E eine "Intervallschätzung" vorgenommen wird. Hierbei wird eine obere Konfidenzgrenze bestimmt, die mit einer vorzugebenden Wahrscheinlichkeit P (dem Vertrauensniveau) größer als E ist, bzw. eine untere Konfidenzgrenze, die mit der Wahrscheinlichkeit P kleiner als E ist. Im Umweltschutz wird ein Vertrauensniveau von P = 0,95 i. Allg. als ausreichend sicher angesehen und hier nachfolgend als "vorgegeben" betrachtet.

In Abschnitt D.2 wird auf die Berechnung von Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert von normal verteilten Zufallsgrößen eingegangen. In Abschnitt D.3 werden die zur Berechnung von Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert von lognormal verteilten Zufallsgrößen benötigten Beziehungen erläutert. Eine detailliertere Darstellung und mathematische Ableitung dieser Beziehungen ist in [D2) enthalten. Zur Theorie der Konfidenzgrenzen linearer Funktionen des Er-wartungswertes und der Varianz von normal verteilten Zufallsgrößen sei auf [D3] hingewiesen.

Tabelle D1: Perzentile t_n-1;P der t-Verteilung für Stichprobenumfänge n von 6 bis 100 für P = 0,95