Aktivität von Rückständen
- Inhalt -
1 Anwendungsbereich
2 Gegenstand
3 Grundsätze
3.1 Festlegung von Chargen
3.2 Beprobung
3.3 Messtechnisch zu erfassende Radionuklide
3.4 Messverfahren
3.5 Zufällige Schwankungen der spezifischen Aktivität
4 Methodik
4.1 Gesamtschema "Prüfung der Einhaltung von Überwachungsgrenzen" und Teilschema "Berechnung von Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert der spezifischen Aktivität"
4.2 Beprobung
Abbildung 1: Gesamtschema zur Prüfung der Einhaltung von Überwachungsgrenzen
Abbildung 2: Teilschema zur Berechnung von Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert der spezifischen Aktivität
4.3 Messergebnisse zur spezifischen Aktivität und Bezugnahme auf Referenznuklide
4.4 Definition der Verteilungsart über das Bestimmtheitsmaß R2 im Q-Q-Plot
4.5 Vereinfachte Schätzung oberer Konfidenzgrenzen ULr zum Erwartungswert der spezifischen Aktivität Cr
4.5.1 Schätzung von ULr bei Normalverteilung der spezifischen Aktivität Cr
4.5.2 Schätzung von ULr bei Lognormalverteilung der spezifischen Aktivität Cr
Tabelle 1: Ordnungszahlen k und Wichtungskoeffizienten a zur vereinfachten Schätzung von ULr im Fall der Normalverteilung gemäß Gl. (11); Stichprobenumfänge n = 6(2)30(10)100; P = 0,95
4.6 Berechnung von Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert der spezifischen Aktivität
4.6.1 Schätzung der Verteilungsparameter
Tabelle 2: Kritische Werte Sn;i und Perzentile k(n-1)/n, der Standardnormalverteilung zur einfachen Schätzung oberer Konfidenzgrenzen ULr nach Gl. (12), (13); Stichprobenumfänge n = 6(2)30; P = 0,95
Tabelle 3: Kritische Werte Sn;iund Perzentile k(n-1)/n der Standardnormalverteilung zur einfachen Schätzung oberer Konfidenzgrenzen ULr nach Gl. (12), (13); Stichprobenumfänge n = 10(10)100; P = 0,95
4.6.2 Ausreißertest
4.6.3 Berechnung oberer (ULr) bzw. unterer (LLr) Konfidenzgrenzen
4.7 Maximale Werte CU238max und CTh232maxder spezifischen Aktivitäten
4.8 Erhöhung des Stichprobenumfangs zur Reduzierung von statistischen Unsicherheiten
4.9 Verwendung von Mischproben
5 Beispiel
5.1 Beprobung
5.2 Messung der spezifischen Aktivität
5.3 Definition der Verteilungsart
Tabelle 4: Messwerte zur spezifischen Aktivität Cr,i (i = 1 bis n) in Bq/g
Tabelle 5: Nach der Größe geordnete Messwerte zur spezifischen Aktivität Cr, (i = 1 bis n) in Bq/g und Perzentile kpi der Standardnormalverteilung
Abbildung 3: Q-Q-Plot für die Messwerte Cr, zur spezifischen Aktivität von Ra-226 und U-238 und Berechnung des Bestimmtheitsmaßes R2(N)
Abbildung 4: Q-Q-Plot für die Logarithmen ln(Cr,<1>) der Messwerte zur spezifischen Aktivität von Ra-226 und U-238 und Berechnung des Bestimmtheitsmaßes R2(Ln)
5.4 Vereinfachte Schätzung von oberen Konfidenzgrenzen ULr
5.5 Schätzung der Verteilungsparameter der gestörten Lognormalverteilung Cr~ Cr + Ln(μr; σr)
Abbildung 5: Schätzung des Untergrundwertes cR durch Bestimmung des Maximums des Bestimmtheitsmaßes R2(c) für U-238 (Messwerte aus Tabelle 5)
Abbildung 6: Schätzung des Untergrundwertes cS durch Bestimmung des Nulldurchgangs der Schiefe S(c) für U-238 (Messwerte aus Tabelle 5)
Abbildung 7: Schätzung des Untergrundwertes cR durch Bestimmung des Maximums des Bestimmtheitsmaßes R2(c) für Ra-226 (Messwerte aus Tabelle 5)
Abbildung 8: Schätzung des Untergrundwertes cS durch Bestimmung des Nulldurchgangs der Schiefe S(c) für Ra-226 (Messwerte aus Tabelle 5)
Abbildung 9: Q-Q-Plot für die Logarithmen ln(Cr,<1> - Cr) der Messwerte zur spezifischen Aktivität von Ra-226 und U-238 und Berechnung des Bestimmtheitsmaßes R2(Ln)mit den Schätzwerten für den konstanten Untergrund von CU238 = 0,08 Bq/g und CRa226= 0,09 Bq/g
5.6 Ausreißertest
5.7 Berechnung oberer Konfidenzgrenzen ULr zum Erwartungswert spezifischer Aktivitäten und Vergleich des Maximalwertes CU238max mit der Überwachungsgrenze
Tabelle 6: Berechnung der oberen Konfidenzgrenzen Er(n;P) (n = 20; P = 0,95) zum Erwartungswert der lognormal verteilten Anteile "Cr - Cr" der Messwerte zur spezifischen Aktivität
5.8 Berechnung unterer Konfidenzgrenzen LLr zum Erwartungswert spezifischer Aktivitäten und Vergleich der Testgröße CLU238max mit der Überwachungsgrenze
Tabelle 7: Berechnung der unteren Konfidenzgrenzen Er(n;1-P) (n = 20; P = 0,95) zum Erwartungswert der lognormal verteilten Anteile "Cr - Cr" der Messwerte zur spezifischen Aktivität
5.9 Prognose zur Erhöhung des Stichprobenumfangs
5.10 Messungen für den erhöhten Stichprobenumfang
Abbildung 10: Aktivitätsrelation CU238/CRa226für die 20 Messwertpaare aus Tabelle 4
Tabelle 8: Messwerte zur spezifischen Aktivität von Ra-226 der ergänzten Stichprobe vom Umfang n = 80 (20 Messwerte der ursprünglichen Stichprobe fett hervorgehoben); Angaben in Bq/g
5.11 Überprüfung der Verteilungsart für die ergänzte Stichprobe
5.12 Vereinfachte Schätzung der oberen Konfidenzgrenze ULRa226für die ergänzte Stichprobe
5.13 Genauere Berechnung der oberen Konfidenzgrenze ULRa226
Abbildung 11: Schätzung des Untergrundwertes cR durch Bestimmung des Maximums des Bestimmtheitsmaßes R2(c) für Ra-226 (79 Messwerte ohne CRa226,<80>)
Abbildung 12: Schätzung des Untergrundwertes cs durch Bestimmung des Nulldurchgangs der Schiefe S(c) für Ra-226 (79 Messwerte ohne CRa226<80>)
Tabelle 9: Berechnung der oberen Konfidenzgrenzen Er(n;P)(nr = 79; P = 0,95) zum Erwartungswert des lognormal verteilten Anteils "Cr - Cr" der Messwerte zur spezifischen Aktivität von Ra-226
6 Literatur
Anhang A Hinweise zur Messung der spezifischen Aktivität von Rückständen
Tabelle A1: Auswertung der Expertenbefragung zu Messunsicherheiten der γ -spektrometrischen Bestimmung der spezifischen Aktivität von Radionukliden im Bereich der Überwachungsgrenzen
Anhang B Vereinfachte Schätzung von Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert normal und lognormal verteilter Zufallsgrößen
B.1 Grundlegende Beziehungen aus der Ordnungsstatistik
B.2 Schätzung von Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert bei Normalverteilung
B.3 Schätzung von Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert bei Lognormalverteilung
B.3.1 Berechnungen bei bekanntem σ
Tabelle B1: Ordnungszahlen k und Wichtungskoeffizienten a zur vereinfachten Schätzung von oberen Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsgröße X entsprechend Gleichung (B12) für die Stichprobenumfänge n = 6(2)30(10)100; P = 0,95
Abbildung B1: Verlauf der Wahrscheinlichkeiten Pr(x<n-i> ≥ E ｜ σ ) in Abhängigkeit vom Wert des Parameters σ der Lognormalverteilung X ~ Ln(μ ,σ ) für den Stichprobenumfang von n = 20
B.3.2 Anwendung der Bayes-Statistik
B.3.3 Wahl eines geeigneten Schätzers sn für σ
Abbildung B2: Verteilungsdichte f(s20 ｜ σ = 1) im Vergleich zu f(a20 ｜ σ = 1)
B.3.4 Berechnung der Verteilungsdichte f(sn ｜ σ )
B.3.5 Posterior-Verteilung für a bei gemessenem Wert von sn
B.3.6 Wahrscheinlichkeiten Pr(x<n-i> ≥ E ｜ s20)
Abbildung B3: Verteilungsdichten f(sn ｜ σ = 1) für n = 10(10)100 (mit zunehmendem Stichprobenumfang n konzentrieren sich die Kurven immer schärfer um den Wert 1)
Abbildung B4: Posterior-Verteilungsdichte Φ(σ ｜ 1 s20) für s20= {0,5; 1; 2}
Abbildung B5: Posterior-Verteilungsfunktion φ(σ ｜ s20) für s20 = {0,5; 1; 2}
B.3.7 Kritische Werte Sn;i
B.3.8 Schritte zur einfachen Schätzung oberer Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert
Abbildung B6: Verlauf der Wahrscheinlichkeiten Pr(x<n-i> ≥ E ｜ s20) in Abhängigkeit vom Wert des für die Stichprobe (n = 20) gemessenen Wertes s20
Tabelle B2: Kritische Werte Sn;i und Perzentile k(n-1)/n, der Standardnormalverteilung zur einfachen Schätzung oberer Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert E; Stichprobenumfänge n = 6(2)30; P = 0,95
Tabelle B3: Kritische Werte Sn;i und Perzentile k(n-1)/n, der Standardnormalverteilung zur einfachen Schätzung oberer Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert E; Stichprobenumfänge n = 10(10)100; P = 0,95
B.4 Literatur
Anhang C Schätzung der Parameter von normal und lognormal verteilten Zufallsgrößen
C.1 Schätzung der Parameter μ und σ für ungestörte Verteilungen
C.2 Schätzung der Parameter μ und σ bei Unterschreitungen von Erkennungsgrenzen
Tabelle C1: Koeffizienten λj,kder Approximation (C25) für von 0 ≤; α ≤; 0,5 und 0 ≤; β ≤; 1
C.3 Identifikation von Ausreißern
Abbildung C1: Abhängigkeit des Parameters λ von β = s2/(X -x*)2 für Werte α = n*/n von 0,05(0,05)0,50
Abbildung C2: Abhängigkeit des Parameters λ von α = n*/n für β = s2/(X -x*)2 = {0,0; 0,5; 1,0}
C.4 Schätzung des Untergrundwertes c für gestörte Lognormalverteilungen
Tabelle C2: Kritische Werte gn;a für den GRUBBS-Ausreißertest für Stichprobenumfänge n von 5 bis 100 für die Irrtumswahrscheinlichkeiten α = 0,01 und α = 0,05; aus [C1]
Abbildung C3: Q-Q-Plot für die ungestörte Stichprobe {y<1>}n, (C34) aus einer Lognormalverteilung und für die durch einen Untergrund von c = 50 gestörte Probe {z}n = {c + y<1>}n
Abbildung C4: Schätzung des Untergrundwertes cR durch Bestimmung des Maximums des Bestimmtheitsmaßes R2(c); mit c = 50 gestörte Stichprobe {z}n = {c + y}n; Yaus (C34)
Abbildung C5: Schätzung des Untergrundwertes cs durch Bestimmung des Nulldurchgangs der Schiefe S(c); mit c = 50 gestörte Stichprobe {z}n = {c + y}n Y aus (C34)
C.5 Literatur
Anhang D Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert normal und lognormal verteilter Zufallsgrößen
D.1 Konzepte zur Beurteilung von Erwartungswerten anhand von Stichproben
Tabelle D1: Perzentile tn-1;P der t-Verteilung für Stichprobenumfänge n von 6 bis 100 für P = 0,95
D.2 Berechnung von Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert normal verteilter Zufallsgrößen
D.3 Berechnung von Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert lognormal verteilter Zufallsgrößen
Abbildung D1a: Verlauf der Funktion B(n; P; σn) für P = 0,95 und σnvon 0,1 (untere Kurve) bis 2,5 (obere Kurve) in Schritten von 0,1 (σn mit vielfachen von 0,5 sind fett hervorgehoben) für Stichprobenumfänge n von 3 bis 200
Abbildung D1b: Verlauf der Funktion B(n; P; σn) für P = 0,95 und σn von 0,1 (untere Kurve) bis 2,5 (obere Kurve) in Schritten von 0,1 (σn mit Vielfachen von 0,5 sind fett hervorgehoben) für Stichprobenumfänge n von 200 bis 1.000
Abbildung D1c: Verlauf der Funktion B(n; P; σn) für P = 0,95 und σn von 0,1 (untere Kurve) bis 2,5 (obere Kurve) in Schritten von 0,1 (σn mit Vielfachen von 0,5 sind fett hervorgehoben) für Stichprobenumfänge n von 1.000 bis 10.000
Abbildung D2a: Verlauf der Funktion B(n; 1-P; σn) für P = 0,95 und σn von 0,1 (obere Kurve) bis 2,5 (untere Kurve) in Schritten von 0,1 (σn mit Vielfachen von 0,5 sind fett hervorgehoben) für Stichprobenumfänge n von 3 bis 200
Abbildung D2b: Verlauf der Funktion B(n; 1-P; σn) für P = 0,95 und σn von 0,1 (obere Kurve) bis 2,5 (untere Kurve) in Schritten von 0,1 (σn mit Vielfachen von 0,5 sind fett hervorgehoben) für Stichprobenumfänge n von 200 bis 1.000
Abbildung D2c: Verlauf der Funktion B(n; 1-P; σn) für P = 0,95 und σn von 0,1 (obere Kurve) bis 2,5 (untere Kurve) in Schritten von 0,1 (σn mit Vielfachen von 0,5 sind fett hervorgehoben) für Stichprobenumfänge n von 1.000 bis 10.000
Tabelle D2: Koeffizienten tn-1;P, bn;P und dn;P;i (i = 1 bis 3) für 4 < n < 8 (sehr kleine Stichproben)
Tabelle D3: Koeffizienten τP;k, βP;k und δP;i;k (i = 1 bis 3) mit K = 4 für P = 0,95 zur Berechnung der oberen Konfidenzgrenze (D14a) gemäß (D17) bis (D20)
Tabelle D4: Koeffizienten τP;k, βP;k und δP;i;k (i = 1 bis 3) mit K = 4 für P = 0,05 zur Berechnung der unteren Konfidenzgrenze (D14b) gemäß (D17) bis (D20)
D.4 Literatur
Anhang E Methodische Beispiele
E.1 Einfluss von Störungen durch Ausreißer und Untergrundwerte auf die Berechnung von Konfidenzgrenzen des Erwartungswertes lognormal verteilter Zufallsgrößen
E.1.1 Analyse der ungestörten Stichprobe
Tabelle E1: Einzelwerte y der zufälligen Stichprobe {y}20der Lognormalverteilung Gl. (E1)
Abbildung E1: Q-Q-Plot für die Logarithmen x = 1n(y) der Daten aus Tabelle E1
Tabelle E2: Statistische Kennwerte zur Stichprobe aus Tabelle El (n = 20; P = 0,95)
Abbildung E2: Schätzung des Untergrundwertes cR durch Bestimmung des Maximums des Bestimmtheitsmaßes R2(c) für die Stichprobe aus Tabelle El
Abbildung E3: Schätzung des Untergrundwertes cS durch Bestimmung des Nulldurchgangs der Schiefe S(c) für die Stichprobe aus Tabelle El
E.1.2 Auswirkungen eines extrem kleinen Messwertes
Tabelle E3: Statistische Kennwerte zur Stichprobe Gl. (E3) (P = 0,95)
Abbildung E4: Q-Q-Plot für die Logarithmen x = ln(z) der Stichprobe Gl. (E3)
E.1.3 Auswirkungen eines Untergrundwertes
Tabelle E4: Statistische Kennwerte zur Stichprobe Gl. (E4) (P = 0,95)
Abbildung E5: Q-Q-Plot für die Logarithmen x = ln(z) der Stichprobe Gl. (E4)
Abbildung E6: Schätzung des Untergrundwertes cR durch Bestimmung des Maximums des Bestimmtheitsmaßes R2(c) für die Stichprobe Gl. (E4)
Abbildung E7: Schätzung des Untergrundwertes cS durch Bestimmung des Nulldurchgangs der Schiefe S(c) für die Stichprobe Gl. (E4)
E.2 Verbesserung der Repräsentativität durch einen erhöhten Stichprobenumfang oder durch die Verwendung von Mischproben
E.2.1 Erhöhung des Stichprobenumfangs
Tabelle E5: Einzelwerte y der zufälligen Stichprobe {y}100 der Lognormalverteilung (E1); die 20 Werte der ursprünglichen Stichprobe {p}20aus Tabelle E1 sind fett markiert
E.2.2 Verwendung von Mischproben
Tabelle E6: Statistische Kennwerte zur Stichprobe (y}100 aus Tabelle E5 (n = 100; P = 0,95)
Tabelle E7: Einzelwerte z, der Stichprobe {z}20 von Mischproben aus je fünf zufällig, ohne Zurücklegung ausgewählten Einzelproben der Stichprobe {y}100 aus Tabelle E5
Abbildung E8: Q-Q-Plot der Logarithmen x = ln(y) der Stichprobe {y}100aus Tabelle E5
Abbildung E9: Q-Q-Plot für die Stichprobe {z}20aus Tabelle E7 (Test auf Normalverteilung)
Abbildung E10: Q-Q-Plot für die Logarithmen x = ln(z) der Stichprobe {z}20 aus Tabelle E7
Abbildung E11: Schätzung des Untergrundwertes cR für die Stichprobe {z}20 aus Tabelle E7
Abbildung E12: Schätzung des Untergrundwertes cS für die Stichprobe {z}20 aus Tabelle E7
Tabelle E8: Statistische Kennwerte zur Stichprobe Gl. (E4) (P = 0,95)
Abbildung E13: Messwerte (n = 270) zur spezifischen U-238- und Ra-226-Aktivität einer Halde
E.3 Auswertung von Messwerten zur Beprobung einer Bergbauhalde
E.3.1 Berechnungen der Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert der Stichprobe {z}20
Abbildung E14: Q-Q-Plot der Logarithmen x<1> = ln(z<1>) zur Stichprobe {z}270 aus Abb. E13
Tabelle E9: Statistische Kennwerte zur Stichprobe {z}270(n = 270; P = 0,95)
Abbildung E15: Schätzung des Untergrundwertes cR zur Stichprobe {z}270 aus Abbildung E13
Abbildung E16: Schätzung des Untergrundwertes cS zur Stichprobe {z}270 aus Abbildung E13
E.3.2 Berechnungen der Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert für eine aus der Stichprobe {z}270 simulierte Mischprobe {z}27
Tabelle E10: Einzelwerte der Stichprobe {z} von Mischproben aus je zehn zufällig, ohne Zurücklegung ausgewählten Einzelproben der Stichprobe {y}170von Abb. E13
Abbildung E17: Q-Q-Plot der Logarithmen x = ln(z) zur Stichprobe {z}27aus Tabelle E10
Abbildung E18: Schätzung des Untergrundwertes cR für die Stichprobe {z}27 aus Tabelle E10
Abbildung E19: Schätzung des Untergrundwertes cS für die Stichprobe {z}27 aus Tabelle E10
Abbildung E20: Q-Q-Plot der Logarithmen x = ln(z- c) zur Stichprobe {z}27 aus Tabelle E10
Tabelle E11: Statistische Kennwerte zur Stichprobe {z}27aus Tabelle E10 (n = 27; P = 0,95)
Anhang F Koeffizienten zur Berechnung von Konfidenzgrenzen des Erwartungswertes zum Vertrauensniveau P = 0,90
Tabelle F1: Ordnungszahlen k und Wichtungskoeffizienten a zur vereinfachten Schätzung von oberen Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsgröße X nach G. (B12); Stichprobenumfänge n = 6(2)30(10)100; P = 0,90
Tabelle F2: Kritische Werte S, und Perzentile k(n-1)/n der Standardnormalverteilung zur einfachen Schätzung von oberen Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert E gemäß Abschnitt B.3; Stichprobenumfänge n = 6(2)30; P = 0,90
Tabelle F3: Kritische Werte Sn.; und Perzentile k(n-1)/n der Standardnormalverteilung zur einfachen Schätzung oberer Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert E gemäß Abschnitt B.3; Stichprobenumfänge n = 10(10)100; P = 0,90
Tabelle F4: Perzentile tn-1;P der t-Verteilung für Stichprobenumfänge n von 6 bis 100 für P = 0,90
Abbildung F1a: Verlauf der Funktion B(n; P; σn) für P = 0,90 und σn von 0,1 (untere Kurve) bis 2,5 (obere Kurve) in Schritten von 0,1 (σn mit Vielfachen von 0,5 sind fett hervorgehoben) für Stichprobenumfänge n von 3 bis 200
Abbildung F1b: Verlauf der Funktion B(n; P; an) für P = 0,90 und an von 0,1 (untere Kurve) bis 2,5 (obere Kurve) in Schritten von 0,1 (an mit Vielfachen von 0,5 sind fett hervorgehoben) für Stichprobenumfänge n von 200 bis 1.000
Abbildung F1c: Verlauf der Funktion B(n; P; σn) für P = 0,90 und σn von 0,1 (untere Kurve) bis 2,5 (obere Kurve) in Schritten von 0,1 (σn mit Vielfachen von 0,5 sind fett hervorgehoben) für Stichprobenumfänge n von 1.000 bis 10.000
Abbildung F2a: Verlauf der Funktion B(n; 1-P; σn) für P = 0,90 und σn von 0,1 (obere Kurve) bis 2,5 (untere Kurve) in Schritten von 0,1 (σn mit Vielfachen von 0,5 sind fett hervorgehoben) für Stichprobenumfänge n von 3 bis 200
Abbildung F2b: Verlauf der Funktion B(n; 1-P; σn) für P = 0,90 und σn von 0,1 (obere Kurve) bis 2,5 (untere Kurve) in Schritten von 0,1 (σn mit Vielfachen von 0,5 sind fett hervorgehoben) für Stichprobenumfänge n von 200 bis 1.000
Abbildung F2c: Verlauf der Funktion B(n; 1-P; an) für P = 0,90 und σn von 0,1 (obere Kurve) bis 2,5 (untere Kurve) in Schritten von 0,1 (σn mit Vielfachen von 0,5 sind fett hervorgehoben) für Stichprobenumfänge n von 1.000 bis 10.000
Tabelle F5: Koeffizienten tn-1;P, bn;P und dn;P;i (i = 1 bis 3) für 4 ≤; n ≤; 8 (sehr kleine Stichproben)
Tabelle F6: Koeffizienten τP;k, βP;k und δP;i;kk (i = 1 bis 3) mit K = 4 für P = 0,90 zur Berechnung der oberen Konfidenzgrenze (D14a) gemäß (D17) bis (D20)
Tabelle F7: Koeffizienten τP;k, βP;k und δP;i;k