umwelt-online: DIN 1045-1 Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton; Bemessung und Konstruktion (7)

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10.3 Querkraft

10.3.1 Nachweisverfahren

(1) Die Tragfähigkeit für Querkraft wird durch verschiedene Versagensmechanismen begrenzt. Deshalb gelten folgende Bemessungswerte der aufnehmbaren Querkraft:

(2) Jeder Querschnitt, in dem der Bemessungswert der Querkraft V_Ed < V_{Rd, ct} ist, erfordert rechnerisch keine Querkraftbewehrung (siehe 10.3.3). Bei Balken und einachsig gespannten Platten mit b/h < 5 ist jedoch stets eine Mindestquerkraftbewehrung nach 13.2.3 bzw. 13.3.3 erforderlich.

(3) In Querschnitten, in denen V_Ed den Wert V_{Rd, ct} überschreitet, ist eine Querkraftbewehrung derart vorzusehen, dass V_Ed < V_{Rd, sy} ist (siehe 10.3.4) und die Regeln für die erforderliche Mindestquerkraftbewehrung nach 13.2.3 und 13.3.3 eingehalten sind.

(4) Der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft darf in keinem Querschnitt des Bauteils den Wert V_{Rd, max} überschreiten (siehe 10.3.4).

10.3.2 Bemessungswert der einwirkenden Querkraft

(1) Bei gleichmäßig verteilter Last und direkter Auflagerung (vgl. 7.3.1 (7)) darf für die Ermittlung der Querkraftbewehrung der Bemessungswert V_Ed aufgrund der direkten Einleitung auflagernaher Lastanteile in das Auflager in einer Entfernung d vom Auflagerrand ermittelt werden.

(2) Der Anteil der Querkraft einer im Abstand x < 2,5 d vom Auflagerrand wirkenden Einzellast darf bei direkter Auflagerung mit dem Beiwert β ab gemindert werden:

(3) Beim Nachweis von V_{Rd, max} dürfen die Abminderungen nach den Absätzen (1) und (2) nicht vorgenommen werden.

(4) In Bauteilen mit veränderlicher Nutzhöhe oder mit geneigter Spanngliedführung ergibt sich der Bemessungswert der Querkraft V_Ed unter Berücksichtigung der Kraftkomponenten des Druck- und Zuggurtes rechtwinklig zur Bauteilachse aus Gleichung (69) und Bild 31:

Bild 31 - Querkraftanteile bei veränderlicher Querschnittshöhe

Legende

10.3.3 Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung

(1) Der Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit V_{Rd, ct} biegebewehrter Bauteile ohne Querkraftbewehrung ist im Allgemeinen nach Gleichung (70) zu ermitteln.

mit

(71)

Dabei ist

η1	= 1,0 für Normalbeton; für Leichtbeton nach Tabelle 10
ρl	der Längsbewehrungsgrad mit
Asl	die Fläche der Zugbewehrung, die mindestens um das Maß d über den betrachteten Querschnitt hinaus geführt und dort wirksam verankert wird (siehe Bild 32). Bei Vorspannung mit sofortigem Verbund darf die Spannstahlfläche voll auf Asl angerechnet werden
bw	die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts in mm
d	die statische Nutzhöhe der Biegebewehrung im betrachteten Querschnitt in mm
fck	der charakteristische Werte der Betondruckfestigkeit in N/mm2
σcd	der Bemessungswert der Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkts des Querschnitts mit
NEd	der Bemessungswert der Längskraft im Querschnitt infolge äußerer Einwirkungen oder Vorspannung (NEd < 0 als Längsdruckkraft)

Bild 32 - Definition von Ast für die Ermittlung von pl in Gleichung (70)

Legende

(2) Wenn nachgewiesen wird, dass die Betonzugspannungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit stets kleiner sind als f_{ctk; 0,05}/γ_c (mit γ_c für unbewehrten Beton nach 5.3.3 (8)), darf die Querkrafttragfähigkeit in den auflagernahen Bereichen von Stahlbeton- und Spannbetonbauteilen unter vorwiegend ruhenden Beanspruchungen nach Gleichung (72) berechnet werden:

(72)

Dabei ist

lx	der Abstand des betrachteten Querschnitts vom Beginn der Verankerungslänge des Spannglieds nach 8.7.6
lbpd	der obere Bemessungswert der Übertragungslänge des Spanngliedes nach 8.7.6 (6)
fctk; 0,05	der untere Quantilwert der Betonzugfestigkeit nach Tabelle 9 oder Tabelle 10, jedoch fctk; 0,05 < 2,7 N/mm2
γc	der Sicherheitsbeiwert für unbewehrten Beton nach 5.3.3 (8)
bw	die kleinste Querschnittsbreite
σcd	der Bemessungswert der Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkts des Querschnitts mit

Dieser Nachweis darf für Querschnitte, die näher als h/2 zur Auflagervorderkante liegen, entfallen.

10.3.4 Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

(1) Die Querkraftbemessung biegebewehrter Bauteile mit Querkraftbewehrung erfolgt auf der Grundlage eines Fachwerkmodells (siehe Bild 33). Die Neigung θ der Druckstreben des Fachwerks ist nach Absatz (3) zu begrenzen.

(2) Beim Nachweis der Querkrafttragfähigkeit darf im Allgemeinen näherungsweise der Wert z = 0,9d angenommen werden. Dabei wird vorausgesetzt, dass bei Bauteilen mit geneigten Spanngliedern in der vorgedrückten Zugzone Längsbewehrung aus Betonstahl vorhanden ist, die zur Aufnahme der Längszugkräfte infolge Querkraft ausreichend ist, und dass die Bügel nach 12.7 (2) in der Druckzone verankert sind. Es darf für z aber kein größerer Wert angesetzt werden, als sich aus z = d - 2c_nom (mit c_nom der Längsbewehrung in der Betondruckzone) ergibt.

(3) Die Neigung θ der Druckstreben des Fachwerks ist wie folgt zu begrenzen:

(73)

mit

(74)

Dabei ist

βct	= 2,4
η1	= 1,0 für Normalbeton; für Leichtbeton nach Tabelle 10
σcd	der Bemessungswert der Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkts des Querschnitts mit
NEd	der Bemessungswert der Längskraft im Querschnitt infolge äußerer Einwirkungen oder Vorspannung (NEd < 0 als Längsdruckkraft)

Bild 33 - Fachwerkmodell und Benennungen für querkraftbewehrtrte Bauteile

Legende

(4) Der Bemessungswert V_{Rd, sy} ist bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung rechtwinklig zur Bauteilachse nach Gleichung (75) zu ermitteln:

(75)

Dabei ist

(5) Vereinfachend dürfen für cotθ in Gleichung (75) die folgenden Werte angesetzt werden:

• reine Biegung: cotθ = 1,2
• Biegung und Längsdruckkraft: cotθ = 1,2
• Biegung und Längszugkraft: cotθ = 1,0

(6) Der Bemessungswert der maximalen Querkrafttragfähigkeit V_{Rd, max} ist bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung rechtwinklig zur Bauteilachse nach Gleichung (76) zu ermitteln:

(76)

Dabei ist

(7) Bei Bauteilen mit geneigter Querkraftbewehrung sind die Bemessungswerte der Querkrafttragfähigkeit V_{Rd, sy} und V_{Rd, max} unter Berücksichtigung des Winkels α der Querkraftbewehrung zur Bauteilachse nach Gleichungen (77) und (78) zu ermitteln:

	(77)
	(78)

Dabei ist

(8) Enthält der betrachtete Querschnitt nebeneinander liegende verpresste Spannglieder mit einer Durchmessersumme ∑d_h > b_w/8, muss der Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit V_{Rd, max} nach Gleichung (76) oder Gleichung (78) auf der Grundlage des Nennwerts b_{w, nom} der Querschnittsbreite für die ungünstigste Spanngliedlage berechnet werden:

Dabei ist

Für nebeneinander liegende nicht verpresste Spannglieder oder solche ohne Verbund gilt:

(9) Der Zugkraftanteil ΔF_sd in der Längsbewehrung infolge Querkraft, der zusätzlich zu dem aus Biegebeanspruchung auftritt, ist nach Bild 33 zu berücksichtigen. Alternativ darf dieser auch nach 13.2.2 (3) berücksichtigt werden.

10.3.5 Schubkräfte zwischen Balkensteg und Gurten

(1) Der Anschluss von Druck- und Zuggurten ist an einem Fachwerkmodell nachzuweisen.

(2) Der Bemessungswert der einwirkenden Längsschubkraft darf ermittelt werden aus:

Dabei ist

Für a_v darf höchstens der halbe Abstand zwischen Momentennullpunkt und Momentenhöchstwert angenommen werden. Bei nennenswerten Einzellasten sollten die jeweiligen Abschnittslängen nicht über die Querkraftsprünge hinausgehen.

(3) Der Nachweis der Querkrafttragfähigkeit darf nach 10.3.4 geführt werden. Dabei ist in den Gleichungen (75) bis (81) b_w = h_f und z = a_v zu setzen. Für σ_cd darf die mittlere Betonlängsspannung im anzuschließenden Gurtabschnitt mit der Länge a_v angesetzt werden. Vereinfachend darf in Zuggurten cotθ = 1,0 und in Druckgurten cotθ = 1,2 gesetzt werden.

(4) Sofern kein genauerer Nachweis erfolgt, darf bei kombinierter Beanspruchung durch Schubkräfte zwischen Gurt und Steg und durch Querbiegung der größere erforderliche Stahlquerschnitt je Seite, der

Bild 34 - Anschluss zwischen Gurten und Steg

Legende

sich entweder nach diesem Abschnitt oder aus der Bemessung für Querbiegung ergibt, angeordnet werden. Dabei sind Biegedruckzone und Biegezugzone getrennt unter Ansatz von jeweils der Hälfte der für die Schubbeanspruchung allein ermittelten Querkraftbewehrung zu betrachten.

10.3.6 Schubkraftübertragung in Fugen

(1) Die Übertragung von Schubkräften in den Fugen zwischen nebeneinander liegenden Fertigteilen oder zwischen Ortbeton und einem vorgefertigten Bauteil sowie zwischen nacheinander betonierten Ortbetonabschnitten wird durch die Rauigkeit und Oberflächenbeschaffenheit der Fuge bestimmt. Für den Nachweis der Tragfähigkeit gelten folgende Definitionen:

• sehr glatt: die Oberfläche wurde gegen Stahl oder glatte Holzschalung betoniert,
• glatt: die Oberfläche wurde abgezogen oder im Gleit- bzw. Extruderverfahren hergestellt, oder sie blieb nach dem Verdichten ohne weitere Behandlung,
• rau: die Oberfläche weist eine definierte Rauigkeit auf, ¹⁰)
• verzahnt: wenn die Geometrie der Verzahnung den Angaben in Bild 35 a) entspricht oder das Korngerüst freigelegt wurde.

(2) Der Bemessungswert der in der Kontaktfläche zwischen Ortbeton und Fertigteil oder in nachträglich ergänzten Querschnitten zu übertragenden Schubkraft je Längeneinheit darf nach Gleichung (83) ermittelt werden:

(83)

Dabei ist

Fcdj	der Bemessungswert des über die Fuge zu übertragenden Längskraftanteils
Fcd	der Bemessungswert der Gurtlängskraft infolge Biegung im betrachten Querschnitt mit

(3) Ohne Anordnung einer Verbundbewehrung beträgt der Bemessungswert der aufnehmbaren Schubkraft in Fugen von Verbundbauteilen einschließlich der Fugen zwischen Decken- und Wandelementen:

Dabei ist

η1	= 1,0 für Normalbeton; für Leichtbeton nach Tabelle 10
βct	der Rauigkeitsbeiwert nach Tabelle 13 und Absatz (4)
fck	der charakteristischer Wert der Betondruckfestigkeit des Ortbetons oder des Fertigteils (der kleinere Wert ist maßgebend) in N/mm2
μ	der Reibungsbeiwert nach Tabelle 13
σNd	die Normalspannung senkrecht zur Fuge (σNd < 0 als Betondruckspannung)
nEd	der untere Bemessungswert der Normalkraft senkrecht zur Fuge je Längeneinheit (siehe Bild 35 a))
b	die Breite der Kontaktfläche (z.B. Breite einer Horizontalfuge)

Tabelle 13 - Beiwerte β_ct, μ

(4) In den Fällen, in denen die Fuge infolge Einwirkungen rechtwinklig zur Fuge unter Zug steht, ist bei glatten oder rauen Fugen β_ct = 0 zu setzen.

(5) In bewehrten Fugen von Verbundbauteilen einschließlich Fugen zwischen Decken- und Wandelementen beträgt der Bemessungswert der aufnehmbaren Schubkraft:

Dabei ist

Die Neigung der Druckstreben des Fachwerks ist wie folgt zu begrenzen

(86)

mit v_{Rd, ct} nach Gleichung (84).

Für σ_cd darf der Bemessungswert der Längsspannung im anzuschließenden Querschnittsteil eingesetzt werden σ_cd < 0 als Betondruckspannung.

(6) Die notwendige Bewehrungsmenge ist nach Gleichung (85) zu ermitteln. Bei biegebeanspruchten Bauteilen darf eine abgestufte Verteilung entsprechend der Schubkraftlinie (siehe Bild 35 b)), bei Bauteilen mit Scheibenbeanspruchung eine konzentrierte Bewehrung an den Enden der Fuge ausgeführt werden. Die Schubbewehrung der Fuge muss auf beiden Seiten der Kontaktfläche nach den Regeln dieser Norm verankert sein.

(7) Bei Scheiben mit Ringanker- und Pfostenbewehrung nach 13.12.3 (4) darf der Nachweis der Fugen unter Ansatz der Beiwerte β_ct und μ nach Tabelle 13 geführt werden, jedoch sollte für v_Rd bei Platten ohne gezahnte Fugen kein größerer Wert als (b * 0,15 N/mm²) angesetzt werden.

(8) Wenn an Fertigteilplatten mit Ortbetonergänzung planmäßig und dauerhaft Lasten angehängt werden, sollte die Verbundsicherung im unmittelbaren Lasteinleitungsbereich nachgewiesen werden.

Bild 35 - Fugenausbildung

Legende

1. Verzahnung
2. Schubkraftdeckungsdiagramm zur Verteilung der erforderlichen Fugenbewehrung

10.3.7 Unbewehrte Bauteile

(1) In unbewehrten Bauteilen darf die Betonzugfestigkeit im Grenzzustand der Tragfähigkeit für Querkraft berücksichtigt werden, sofern nachgewiesen werden kann, dass diese nicht infolge von Rissbildung ausfällt.

(2) Ein unbewehrtes Bauteil darf hierbei als ungerissen angesehen werden, wenn es im Grenzzustand der Tragfähigkeit für alle relevanten Bemessungssituationen vollständig unter Druckbeanspruchung steht oder die Hauptzugspannung im Beton die Größe von 1,0 N/mm² nicht überschreitet.

(3) Kann nicht von einem ungerissenen Bauteil ausgegangen werden, ist der Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit V_Rd am ungerissenen Restquerschnitt zu berechnen. Dieser ist aus dem Spannungszustand des Querschnitts für die ungünstigste Bemessungssituation zu ermitteln.

(4) Die Querkrafttragfähigkeit von unbewehrten Bauteilen mit kombinierter Querkraft-, Biege- und Längskraftbeanspruchung darf unter den in 10.3.3 (2) genannten Voraussetzungen nach Gleichung (72) mit α_l = 1 ermittelt werden.

10.4 Torsion

10.4.1 Allgemeines

(1) Wenn das statische Gleichgewicht eines Tragwerks von der Torsionstragfähigkeit seiner einzelnen Bauteile abhängt, ist eine Torsionsbemessung erforderlich, die sowohl den Grenzzustand der Tragfähigkeit als auch den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit umfasst.

(2) Wenn in statisch unbestimmten Tragwerken Torsion nur aus Einhaltung der Verträglichkeitsbedingungen auftritt, darf auf eine Berücksichtigung der Torsionssteifigkeit bei der Schnittgrößenermittlung verzichtet werden. Dabei ist eine konstruktive Bewehrung in Form von Bügeln und Längsbewehrung vorzusehen, um eine übermäßige Rissbildung zu vermeiden. Die Anforderungen nach 11.2 und 13.2.4 sind im Allgemeinen für diesen Zweck ausreichend.

(3) Die Torsionstragfähigkeit eines Querschnitts kann unter Annahme eines dünnwandigen, geschlossenen Querschnitts nachgewiesen werden, in dem das Gleichgewicht durch einen geschlossenen Schubfluss erfüllt wird. Vollquerschnitte können hierzu durch gleichwertige dünnwandige Querschnitte ersetzt werden (siehe Bild 36 b)). Bei Hohlquerschnitten darf die Ersatzwanddicke die wirkliche Wanddicke nicht überschreiten. Querschnitte von komplexer Form, wie z.B. T-Querschnitte, können in Teilquerschnitte aufgeteilt werden. Die Gesamttorsionstragfähigkeit berechnet sich dann als Summe der Tragfähigkeiten der Einzelelemente.

(4) Die Aufteilung des angreifenden Torsionsmomentes auf die einzelnen Querschnittsteile darf im Allgemeinen im Verhältnis der Steifigkeiten der ungerissenen Teilquerschnitte erfolgen.

(5) Die Bemessung darf für jeden Teilquerschnitt getrennt erfolgen.

(6) Für einen näherungsweise rechteckigen Vollquerschnitt ist außer der Mindestbewehrung nach 13.2.3 (5) keine Querkraft- und Torsionsbewehrung erforderlich, wenn die folgenden Bedingungen eingehalten sind:

	(87)
	(88)

10.4.2 Nachweisverfahren

(1) Die Schubkraft V_{Ed, T} in einer Wand des Nachweisquerschnittes infolge eines Torsionsmomentes T_Ed ist mit Gleichung (89) zu ermitteln:

(89)

Dabei ist

Die Mittellinien der Wände sind durch Achsen der Längsstäbe in den Ecken definiert (siehe Bild 36 b)).

(2) Die Bemessung der Torsionsbewehrung in einer Wand des Nachweisquerschnitts erfolgt auf der Grundlage eines Fachwerkmodells (siehe Bild 36 b)). Die Neigung der Druckstreben θ des Fachwerks ist nach 10.3.4 (3) zu begrenzen. Bei kombinierter Beanspruchung aus Torsion und anteiliger Querkraft ist in Gleichung (73) für V_Ed die Schubkraft der Wand V_{Ed, T+V} nach Gleichung (90) und in Gleichung (74) für b_w die effektive Dicke der Wand t_eff einzusetzen. Mit dem gewählten Winkel θ ist der Nachweis sowohl für Querkraft als auch für Torsion zu führen. Die so ermittelten Bewehrungen sind zu addieren.

(90)

Dabei ist

Vereinfachend darf die Bewehrung für Torsion allein unter der Annahme von θ = 45° ermittelt und zu der nach 10.3.4 ermittelten Querkraftbewehrung addiert werden.

Bild 36 - Benennungen und Modellbildung bei Torsion

Legende

(3) Der Bemessungswert T_{Rd, sy} des aufnehmbaren Torsionsmoments des Querschnitts oder eines jeden Teilquerschnitts ist nach den Gleichungen (91) und (92) zu ermitteln; der kleinste Wert der Wände i des Nachweisquerschnitts ist maßgebend:

(91)

bzw.

(92)

Dabei ist

In Druckgurten darf die Torsionslängsbewehrung entsprechend den vorhandenen Druckkräften abgemindert werden. In Zuggurten ist sie zur übrigen Längsbewehrung zu addieren.

(4) Der Bemessungswert des maximal aufnehmbaren Torsionsmoments des Querschnitts oder eines jeden Teilquerschnitts bei Torsion allein ist mit Gleichung (93) zu ermitteln; der kleinste Wert der Wände i des Nachweisquerschnitts ist maßgebend:

(93)

mit

(5) Die maximale Tragfähigkeit wird durch die Druckstrebentragfähigkeit begrenzt, diese kann bei kombinierter Beanspruchung aus Querkraft und Torsion als gegeben angesehen werden, wenn für den Querschnitt oder jeden Teilquerschnitt die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• für Kompaktquerschnitte:

  (94)

• für Kastenquerschnitte:

  (95)

Dabei ist

weiter.